Matemáticas II: autoevaluación y autoaprendizaje
Manuel Palacios

La respuesta 2 anterior es CORRECTA. Lea la explicación siguiente y vaya a la pregunta siguiente.

Cap.5/Ejerc.6/Preg. 2: Explicación

En efecto, ya que hemos encontrado que las multiplicidades algebraica y geométrica de cada uno de los valores propios coinciden, podemos asegurar que la matriz A del sistema es diagonalizable.

Es decir, que existe una base respecto de la cual la matriz J semejante a la A es diagonal, con los valores propios en la diagonal tantas veces como su multiplicidad.

Esa base es la unión de bases de los subespacios fundamentales asociados a cada uno de los valores propios en el orden en que se hayan colocado.

La matriz de cambio a esa base de vectores propios es la que tiene por columnas las coordenadas de los vectores que la componen.

El subespacio fundamental asociado a cada valor propio es: Ker (A - t_K I),

su dimensión resulta:
n₁ = n - rg (A - t₁ I) = 3 - 2 = 1
n₂ = n - rg (A - t₂ I) = 3 - 1 = 2

Por lo que la matriz del cambio tendrá como primera columna las coordenadas de un vector propio asociado al valor propio t₁ y como segunda y tercera columnas las coordenadas de dos valores propios linealmente independientes asociados al segundo valor propio.

Falta comprobar simplemente que las columnas de la matriz propuesta son vectores propios de A en el orden adecuado.

Desacoplar el sistema significa transformarlo en otro equivalente en el que n estén relacionadas las incónitas unas con otras, es decir, que el sistema diferencial no sea de ecuaciones simultáneas.

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