Matemáticas II: autoevaluación y autoaprendizaje
Manuel Palacios

La respuesta 2 anterior NO es CORRECTA. Lea la explicación siguiente y vaya a la pregunta siguiente.

Cap.5/Ejerc.6/Preg. 2: Explicación

En efecto, ya que hemos encontrado que las multiplicidades algebraica y geométrica de cada uno de los valores propios coinciden, podemos asegurar que la matriz A del sistema es diagonalizable.

Es decir, que existe una base respecto de la cual la matriz J semejante a la A es diagonal, con los valores propios en la diagonal tantas veces como su multiplicidad.

Esa base es la unión de bases de los subespacios fundamentales asociados a cada uno de los valores propios en el orden en que se hayan colocado.

La matriz de cambio a esa base de vectores propios es la que tiene por columnas las coordenadas de los vectores que la componen.

El subespacio fundamental asociado a cada valor propio es: Ker (A - t_K I),

su dimensión resulta:
n₁ = n - rg (A - t₁ I) = 3 - 2 = 1
n₂ = n - rg (A - t₂ I) = 3 - 1 = 2

Por lo que la matriz del cambio tendrá como primera columna las coordenadas de un vector propio asociado al valor propio t₁ y como segunda y tercera columnas las coordenadas de dos valores propios linealmente independientes asociados al segundo valor propio.

Basta comprobar simplemente que las columnas de la matriz propuesta NO son vectores propios de A, es decir, NO cumplen: A P = P J.

Atención: no es que A y J no sean semejantes, es que P NO es una matriz adecuada. En concreto, tienen las columnas cambiadas de orden. (Compruebalo!)

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Formular otra vez la misma pregunta.