Autoevaluación y autoaprendizaje del Algebra lineal.
Manuel Palacios

 

La respuesta 3 anterior es CORRECTA. Lea la explicación siguiente y vaya a la pregunta siguiente.

Cap.5/Ejerc.4/Preg. 1: Explicación

Basta comprobar sus dimensiones

dim Ker A3 = 3 - rg (A3) = 3 - 0 = 3,
dim Ker A2 = 3 - rg (A2) = 3 - 1 = 2,
dim Ker A = 3 - rg (A1) = 3 - 2 = 1,
para saber que se cumple el contenido estricto.

Definición.- Una cadena asociada a un valor propio tk de un endomorfismo f (o a su matriz coordenada) es una familia { vj }1r de vectores que cumple:

f(v1) = t1 v1, f(vj+1) - tk vj+1= vj, para j =1, 2, 3, ..., r-1

Es decir,

(A - tk I ) v1= 0, (A - tk I ) vj+1= vj, para j=1, 2, 3, ..., r-1

Así que el primer vector de cada cadena pertenece a Ker (A - tk I ), el segundo pertenece a Ker (A - tk I )2, el tercero pertenece a Ker (A - tk I )3, etc.

Y, naturalmente, asociadas a un valor propio habrá tantas cadenas, puesto que comienzan con un vector propio, como su multiplicidad geométrica.

En este ejercicio solo habrá una cadena compuesta por tres vectores.

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