Autoevaluación y autoaprendizaje del Algebra lineal.
Manuel Palacios

 

La respuesta 1 anterior es CORRECTA. Lea la explicación siguiente y pruebe otra vez.

Cap.3/Ejerc.2/Preg.1: Explicación

La suma de dos subespacios es otro subespacio vectorial constituido por todos los vectores que son suma de uno del primero y otro del segundo subespacios.

Imponiendo las condiciones de la defición de U y W, un vector de la suma es de la forma:

(x1, ..., xn-1, - x1 - ... - xn-1) + (y1, ..., y1) = (x1 + y1, ..., xn-1 + y1, - x1 - ... - xn-1 + y1)

siendo x1, ..., xn-1, y1 arbitrarios, lo que hace que la n-tupla anterior sea arbitraria, es decir, que la suma U + W = Rn

Para que la suma sea directa es suficiente y necesario que se cumpla alguna de las siguientes:

a) Cualquier vector de la suma se puede expresar como suma de uno de S y otro de T de una sola forma

b) Si el vector nulo se expresa como suma de uno de S y otro de T, estos dos son también nulos

c) El subespacio intersección de S y T es el subespacio nulo.

Se comprueba en este ejercicio, por ejemplo, que la anulación de la n-tupla genérica de la suma:

(x1 + y1, ..., xn-1 + y1, - x1 - ... - xn-1 + y1) = (0, ..., 0) ===> x1 = ... = xn-1 = y1 = 0
es decir, que se cumple la condición b)

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