# PRÁCTICA 4: MODELOS ELEMENTALES DISCRETOS

## Ejemplo

### Modelo

y(k)-y(k-1)=(1/2)y(k-2)+10; y(0)=10, y(1)=20

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población tal que el crecimiento en un año es 
la mitad de la población dos años antes más 10 individuos

Es de orden 2 y tenemos dos condiciones iniciales

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(2*x^2-2*x-1=0,x),numer;

yh(k)=c1*(-0.36602538675129)^k+c2*(1.366025386751289)^k

Solución particular

solve(2*A-2*A-A=20,A),numer;

yp(k)=-20

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c1*(-0.36602538675129)^k+c2*(1.366025386751289)^k-20;

Resolvemos las condiciones iniciales

solve([y(0)=10,y(1)=20],[c1,c2]),numer;

Solución general

y(k):=0.56624298637353*(-0.36602538675129)^k+29.43375701362648*(1.366025386751289)^k-20;

Comprobación de las condiciones iniciales

[y(0),y(1)];

### Evolución durante los primeros 15 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 15 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,15);

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es inestable

### Población a los 7 años

y(7),numer;

entier(y(7)),numer;

## Ejercicio 1

### Modelo

y(k)-1.4y(k-1)=0; y(0)=200

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población que aumenta el 40% cada periodo

Es de orden 1 y tenemos una condición inicial

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(x-1.4=0,x),numer;

yh(k)=c*(1.4)^k

Solución particular. ES HOMOGÉNEO, LUEGO ES 0.

yp(k)=0

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c*(1.4)^k;

Resolvemos las condiciones iniciales

solve(y(0)=200,c),numer;

Solución general

y(k):=200*(1.4)^k;

Comprobación de las condiciones iniciales

[y(0)];

### Evolución durante los primeros 70 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 30 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,70);

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es inestable

### Población a los 9 años

y(9),numer;

entier(y(9)),numer;

## Ejercicio 2

### Modelo

y(k)-1.3y(k-1)=-5k; y(0)=100

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población que aumenta el 30% cada periodo 
y además se capturan 5 individuos, incrementando en 5 cada periodo

Es de orden 1 y tenemos una condición inicial

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(x-1.3=0,x),numer;

yh(k)=c*(1.3)^k

Solución particular. Hay que ensayar una de tipo ak+b

solve([a-1.3*a=-5,b+1.3*a-1.3*b=0],[a,b]),numer;

yp(k)=16.66666666666667*k+72.22222222222223

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c*(1.3)^k+16.66666666666667*k+72.22222222222223;

Resolvemos las condiciones iniciales

solve(y(0)=100,c),numer;

Solución general

y(k):=27.77777777777778*(1.3)^k+16.66666666666667*k+72.22222222222223;

Comprobación de las condiciones iniciales

[y(0)];

### Evolución durante los primeros 100 días

Editamos una lista que sea la población en los primeros 100 días

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,100)$

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es inestable

### Población a los 20 días

y(20),numer;

entier(y(20)),numer;

## Ejercicio 3

### Modelo

y(k+1)-y(k)=(1/2)*(y(k)-y(k-1)); y(0)=100, y(1)=80

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población que el crecimiento de un año a otro es la mitad del crecimiento 
del año anterior

Es de orden 2 y tenemos dos condiciones iniciales

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(2*x^2-3*x+1=0,x),numer;

yh(k)=c1+c2*(0.5)^k

Solución particular. ES HOMOGÉNEO, LUEGO ES 0.

yp(k)=0

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c1+c2*(0.5)^k;

Resolvemos las condiciones iniciales

solve([y(0)=100,y(1)=80],[c1,c2]),numer;

Solución general

y(k):=60+40*(0.5)^k;

Comprobación de las condiciones iniciales

[y(0),y(1)];

### Evolución durante los primeros 20 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 20 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,20);

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es estable. Se estabiliza en 60 individuos

### Población a los 4 años

y(4),numer;

entier(y(4)),numer;

## Ejercicio 4

### Modelo

y(k+1)=y(k)-0.2*y(k)+10 y(0)=53

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población que disminuye el 20% cada periodo 
y además se añaden 10 individuos

Es de orden 1 y tenemos una condición inicial

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(x-0.8=0,x),numer;

yh(k)=c*(0.8)^k

Solución particular. Hay que ensayar una de tipo A

solve(A-0.8*A=10,A),numer;

yp(k)=50

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c*(0.8)^k+50;

Resolvemos las condiciones iniciales

solve(y(0)=53,c),numer;

Solución general

y(k):=3*(0.8)^k+50;

Comprobación de las condiciones iniciales

[y(0)];

### Evolución durante los primeros 40 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,40)$

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es estable y se estabiliza en 50 individuos

### Población a los 12 años

entier(y(12)),numer;

## Ejercicio 5

### Modelo

y(k)-0.7y(k-1)=5k-10; y(0)=1000

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población que disminuye el 30% cada periodo 
y además se capturan 10 individuos, y se añaden 5, incrementando en 5 cada periodo

Es de orden 1 y tenemos una condición inicial

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(x-0.7=0,x),numer;

yh(k)=c*(0.7)^k

Solución particular. Hay que ensayar una de tipo ak+b

solve([a-0.7*a=5,b+0.7*a-0.7*b=0],[a,b]),numer;

yp(k)=16.66666666666667*k-38.88888888888889

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c*(0.7)^k+16.66666666666667*k-38.88888888888889;

Resolvemos las condiciones iniciales

solve(y(0)=1000,c),numer;

Solución general

y(k):=1038.888888888889*(0.7)^k+16.66666666666667*k-38.88888888888889;

Comprobación de las condiciones iniciales

[y(0)];

### Evolución durante los primeros 100 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 100 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,100)$

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

### Población a los 30 años

entier(y(30)),numer;