# PRÁCTICA 4: MODELOS ELEMENTALES DISCRETOS

## Ejemplo

### Modelo

y(k)-y(k-1)=(1/2)y(k-2)+10; y(0)=10, y(1)=20

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población tal que el crecimiento en un año es 
la mitad de la población dos años antes menos 10 individuos

Es de orden 2 y tenemos dos condiciones iniciales

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(2*x^2-2*x-1=0,x),numer;

yh(k)=c1*(-0.36602538675129)^k+c2*(1.366025386751289)^k

Solución particular

solve(2*A-2*A-A=20,A),numer;

yp(k)=-20

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c1*(-0.36602538675129)^k+c2*(1.366025386751289)^k-20;

Resolvemos las condiciones iniciales

solve([y(0)=10,y(1)=20],[c1,c2]),numer;

Solución general

y(k):=0.56624298637353*(-0.36602538675129)^k+29.43375701362648*(1.366025386751289)^k-20;

Comprobación de las condiciones iniciales

[y(0),y(1)];

### Evolución durante los primeros 15 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 30 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,15);

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es inestable

### Población a los 7 años

y(7),numer;

entier(y(7)),numer;

## Ejercicio 1

### Modelo

y(k)=1.3y(k-1)-5k; y(0)=100

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población que aumenta al año un 30% y además 
se restan en un incremento de 5 individuos anualmente

Es de orden 1 y tenemos una condiciones iniciales

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(x-1.3=0,x),numer;

yh(k)=c*(1.3)^k

Solución particular yp(k)=ak+b

solve([a-1.3*a=-5,a+b-1.3*b=0],[a,b]),numer;

yp(k)=16.66666666666667*k+55.55555555555556

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c*(1.3)^k+16.66666666666667*k+55.55555555555556;

Resolvemos la condición inicial

solve(y(0)=100,c),numer;

Solución general

y(k):=44.44444444444444*(1.3)^k+16.66666666666667*k+55.55555555555556;

Comprobación de las condiciones iniciales

y(0);

### Evolución durante los primeros 100 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 30 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,100);

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es inestable

### Población a los 20 años

y(20),numer;

entier(y(20)),numer;

%%%%%%%%%%%%%%%





\item Sea:  $ y(k+1)=y(k)-0.2y(k)+10,\qquad y(0)=53,\quad \hbox{con $k$


expresando años}. $





Realizar los mismos apartados que en el ejercicio anterior (gráfico


los primeros 40 años, y población pasados 12 años)

## Ejercicio 2

### Modelo

y(k+1)=0.8y(k)+10; y(0)=50

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población que disminuye al año un 20% y se le suman 10 individuos cada año

Es de orden 1 y tenemos una condición inicial

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(x-0.8=0,x),numer;

yh(k)=c*(0.8)^k

Solución particular yp(k)=A

solve(A-0.8*A=10,A),numer;

yp(k)=50

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c*(0.8)^k+50;

Resolvemos la condición inicial

solve(y(0)=53,c),numer;

Solución general

y(k):=3*(0.8)^k+50;

Comprobación de las condiciones iniciales

y(0);

### Evolución durante los primeros 100 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 40 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,40);

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es estable y tiende a 50 individuos

### Población a los 12 años

y(12),numer;

entier(y(12)),numer;

## Ejercicio 3

### Modelo

y(k+1)=0.7y(k)-10+5k; y(0)=100

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población que disminuye al año un 30% y se le restan 10 individuos cada año además de un incremento de 5 por año

Es de orden 1 y tenemos una condición inicial

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(x-0.7=0,x),numer;

yh(k)=c*(0.7)^k

Solución particular yp(k)=ak+b

solve([a-0.7*a=5,a+b-0.7*b=-10],[a,b]),numer;

yp(k)=16.66666666666667*k-88.88888888888889

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c*(0.7)^k+16.66666666666667*k-88.88888888888889;

Resolvemos la condición inicial

solve(y(0)=1000,c),numer;

Solución general

y(k):=1088.888888888889*(0.7)^k+16.66666666666667*k-88.88888888888889;

Comprobación de las condiciones iniciales

y(0);

### Evolución durante los primeros 100 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 100 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,100);

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es inestable

### Población a los 12 años

y(30),numer;

entier(y(30)),numer;

## Ejercicio 4

### Modelo

y(k+1)-y(k)=(y(k)-y(k-1))/2      y(0)=y(1)=100

### ¿Qué describe el modelo?, ¿de qué orden es?

Describe una población tal que el crecimiento en un año es la mitad del crecimiento del año anterior

Es de orden 2 y tenemos dos condiciones iniciales

### Solución de la homogénea y solución particular

Solución de la homogénea

solve(2*x^2-3*x+1=0,x),numer;

yh(k)=c1*(0.5)^k+c2

Solución particular no tiene, o es 0, puesto que es homogénea

### Solución general y comprobación de CI

Solución general

y(k):=c1*(0.5)^k+c2;

Resolvemos la condición inicial

solve([y(0)=100,y(1)=80],[c1,c2]),numer;

Solución general

y(k):=40*(0.5)^k+60;

Comprobación de las condiciones iniciales

[y(0),y(1)];

### Evolución durante los primeros 20 años

Editamos una lista que sea la población en los primeros 40 años

evolucion:create_list([i,y(i)],i,0,20);

wxplot2d([discrete, evolucion], [style, points]);

### Estabilidad para un tiempo indefinido

Calculamos el límite

limit(y(k),k,inf);

Es estable y tiende a 60

### Población a los 4 años

y(4),numer;

entier(y(4)),numer;